Родовое содержание и видовые формы арифметической операции над натуральными числами

При изучении арифметических операций над натуральными числами не обращают внимания ни на содержательный смысл натурального числа, ни на содержательный смысл арифметической операции над такими числами. Таков стандартный подход, принятый в традиционном математическом образовании. Согласно этого подхода формально-логический символизм интересует больше чем содержательно-интуитивное понимание указанных понятий.

Такая методика изучения математики противоречит ее интуитивному пониманию. С точки зрения традиционного математического образования нет смысла вникать в интуитивное содержание. Достаточно формально определить натуральное число, формально определить арифметическую операцию. Все что теперь требуется: совершать манипуляции над натуральными числами следуя указаниям формально-логических законов.

При таком рассмотрении ускользает из внимания интересный факт связи натурального числа с конечным количеством. Мы не видим, что натуральное число является формой структурирования конечного количества. А не видим мы это потому что математическое образование не учит нас структурировать.

Вместо этого мы получаем готовые структурированные формы, не видя способа их получения. Натуральное число, представленное в разрядной форме, является первой структурированной формой при структурировании конечного количества. Возникает вопрос: насколько важно для математического образования структурный характер натурального числа?

1. Во-первых, мы видим, что конечное количество может быть представлено сенсорными формами. В частности, оно может быть представлено пространственными материальными формами: кубиками, призмами, пирамидами и так далее. В этом случае натуральное число имеет досимволические формы: сенсорную, сенсорно-образную, образную и так далее. Это дает возможность работать с натуральными числами в досимволическом виде уже в раннем развитиию

2. Во-вторых, если натуральное число является линейной структурой то немедленно обнаруживается связь «натуральное число-многочлен-вектор» Эта связь не только создает пропедевтику в изучении алгебры, но и показывает, что операции над натуральными числами должны осуществляться также как и над двумя другими видовыми формами линейных структур (многочлен, вектор), а не так как они осуществляются сегодня.

3. В-третьих, представляя натуральное число как развивающуюся линейную структуру мы видим все многобразие применений натурального числа. Это не только величина конечного количества, но и размерность связи между двумя конечными количествами, степень движения конечного количества и так далее.

натуральное число школа

С точки зрения авторов операция это аналитический продукт, получаемый при анализе движения, как количественного или качественного изменения. В данном случае, речь идет о движении конечного количества. Мы рассмотрим эти движения в порядке их развития.

Движение конечного количества вызывает изменение его величины: она становится либо больше, либо меньше.

Самым простым изменением являются два вида изменения: увеличение на столько же, уменьшение на столько же. Увеличение на столько же означает соединение двух равных по величине количеств. В общем случае мы имеем соединение нескольких равных по величине количеств, что приводит к кратности количества.

Если мы соединяем столько количеств какова величина самого количества то такое движение уже представляет квадрат конечного количества. Поэтому образование квадрата конечного количества является частным случаем кратности конечного количества.

Мы можем и дальше продолжать соединения. В результате мы будем получать разные степени конечного количества.

Диалектической противоположностью соединения является разбиение конечного количества на части. Таким образом, разбиение конечного количества на несколько равных частей становится диалектической противоположностью кратности конечного количества.

Гуманизация воспитания
К принципу опоры на положительное тесно примыкает, почти сливаясь с ним, еще один важный принцип — гумани­зации. Он требует: 1) гуманного отношения к личности воспи­танника; 2) уважения его прав и свобод; 3) предъявления воспитаннику посильных и разумно сформулированных тре­бований; 4) уважения к п ...

Технология Ю.Л. Троицкого
Ни технологии традиционного обучения, ни технологии проблемного обучения, не предполагают развитие у детей творческих начал в поиске объективного исторического знания. В данных системах господствует безусловное господство репродуктивного способа усвоения авторского учебникового знания. Но материал ...

Педагогические требования
В процессе исторического развития человечество совершенствовало культуру взаимоотношений. В результате были выработаны и закреплены обязательные и безусловные нормы этих отношений. Они имеют обобщенный характер, поскольку затрагивают интересы всех людей, живущих на планете, а не какого-то отдельно ...